微积分的思维，是对传统方法的降维打击，大道

在工程设计中，普遍地会用到微积分来分析曲面实体的体量大小或内力分布。所以学设计的，总要掌握一些微积分的知识才好。

在学习微积分之初，老师经常会引用恩格斯在《自然辩证法》中对微积分的一句评价：

只有微积分才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动。

从字面的表达看，“状态”有静态的含义。比如平面坐标系内X轴上的一个点，我们这样来表明它的状态：（x1，0）。点的维度是0。让这个点沿X轴运动，在运动到坐标（x2，0）时，我们这样来表明它的过程：x2-x1。这是一条直线，直线是一维的。

以此类推，还可以进阶到二维的面，三维的体，四维以至N维。

我们以一个自然数2为例，做两个简单的变换，得出两个等式：2=2-0和2=2/3*3。

正在辅导孩子小学数学的孩儿他妈看到此处，当即暴起，表示这是脱了裤子放屁！

好吧，我们看图说话：

看似简单无脑的变换式，让我们实现了从低维到高维的思维过渡。

通过上述的两个等式，又得到一个新的等式：2/3*3=2-0。我们可以这样理解它的含义：

一个二维的正方形的面积可以与一条一维的直线段的长度等值。这种等值关系，就是两个维度空间的通道。

把上面的几个等式先放一边，我们来求一个曲线三角形的面积。

如上图，曲线三角形的斜边是曲线y=x^2的一部分，对应的x∈[0，2]，求阴影部分也就是曲线三角形的面积。

首先，我们在X轴上取值x，使0≤x≤2。再取一个无限小的增量Δx，这个增量Δx，小到多小呢？小到可以忽略不计，所以有（x+Δx）^2无限约等于x^2。

这样，我们就得到一个无限近似的长方形，X轴向的边长为Δx，Y轴向的边长为x^2，

它的面积：ΔS=x^2*Δx。

从形式表达的结果看，ΔS也是一个无限小的量。

而在x∈[0，2]上，有无限个ΔS，它们的累加结果，就是曲线三角形的面积S。

我们用一个积分等式，来表达上述的结果：

这个等式本身是无法解的。

但从等式2/3*3=2-0中，我们得到过这个启示：

一个二维的正方形的面积可以与一条一维的直线段的长度等值。

那么，我们就去找出与这个曲线三角形等值的直线来。

下图是曲线y=1/3 x^3的一部分，对应的x∈[0，2]。

当x∈[0，2]时，y∈[0，8/3]。

这个很好计算。取x1=0，则y1=1/3*0^3=0；取x2=2，则y2=1/3*2^3=8/3；

那么，两个端点在Y轴的投影距离y2-y1=8/3-0=8/3。

这条直线，就是我们要找的直线。接下来的工作，就是证明曲线三角形的面积与这条直线的长度等值，即：

S= ∫x^2*dx，x∈[0，2]=y2-y1

首先，我们在这条直线上，也取一个无限小的量Δy。

在x∈[0，2]上，有无限个Δy，它们的累加结果，就是直线的长度y2-y1。

只要使每一个Δy，都有一个对应的x^2*Δx，直线的长度就与曲线三角形的面积等值。

即如果Δy=x^2*Δx，那么S=∫x^2*dx，x∈[0，2]=y2-y1。

参照等式2=2/3*3，我们将Δy变换成Δy=Δy/Δx*Δx。

从上述的推演来看，只要使Δy/Δx=x^2，证明就可以完成。

我们将Δy/Δx拿出来单独研究。

Δy/Δx表示曲线的曲率，也被称为函数的导数，表达式：f'(x)=Δy/Δx。

有同学不明白它为什么叫导数，因为正是它，帮助我们把计算从高维导向低维，从混沌导向清晰。

下面的任务，就是求Δy所对应的函数y=1/3 x^3的导数：

lim，极限的简写

结果：Δy/Δx=x^2。

那么，曲线三角形的面积S= ∫x^2*dx，x∈[0，2]=y2-y1=8/3。

恩格斯所说的表明过程，应该可以部分归结到这个积分公式上来S= ∫x^2*dx，x∈[0，2]。

但它是否真的表明了过程，是值得怀疑的。因为我们并没在这个维度上做出解答，而是进行了降维处理，从二维转换到一维，找到了一个可转换的解。

微积分更像是一种降维打击的思维，把高维空间的混沌逻辑整体打个包，丢到低维空间转化成简单的线性逻辑。这才是它的真谛。

厘清了整体变换的过程，再遇到与曲线三角形相似的问题，我们就可以用导数反向推导低维函数方程，进行线性求解。

所以，微积分的整体逻辑并不复杂，把一切归于简单才是它的信仰！